Pengantar Aljabar Linear: Geometri Persamaan Nilai Eigen

Persamaan nilai eigen $Ax = \lambda x$ merepresentasikan kondisi geometri yang langka di mana transformasi matriks bertindak hanya dengan memperbesar atau memperkecil vektor tanpa memutar vektor tersebut. Vektor-vektor "istimewa" ini, yaitu $x$, menentukan sumbu utama dari transformasi linier.

Geometri Kecemerlangan

Untuk kebanyakan vektor, $Ax$ menunjuk ke arah yang berbeda dibandingkan $x$. Vektor eigen istimewa karena tetap pada bidang (garis lurus) yang sama melalui titik asal. Nilai eigen $\lambda$ memberi tahu kita besar perubahan ukuran:

$|\lambda| > 1$: Pertumbuhan (peregangan).
$|\lambda| < 1$: Penurunan (pengecilan).
$\lambda < 0$: Pembalikan (pembalikan arah).

Kendala Singularitas

Persamaan $Ax = \lambda x$ dapat ditulis ulang sebagai $(A - \lambda I)x = 0$. Agar solusi non-nol $x$ ada, matriks $(A - \lambda I)$ harus singular (tidak dapat dibalik), artinya determinannya harus nol: $\det(A - \lambda I) = 0$.

Identitas dan Perpindahan

Jika kita menggeser sebuah matriks dengan matriks identitas, vektor eigen tetap sama, namun nilai eigen bergeser sebesar 1:

$Ax = \lambda x \implies (A+I)x = Ax + Ix = \lambda x + x = (\lambda + 1)x$

Dari Proyeksi ke Refleksi

Memahami geometri proyeksi $P$ memungkinkan kita menurunkan refleksi $R$ melalui operator linier $R = 2P - I$.

Jika $x$ adalah vektor eigen dari $P$ dengan nilai eigen $\lambda$, maka:

$Rx = (2P - I)x = 2(Px) - Ix = 2(\lambda x) - x = (2\lambda - 1)x$

Ini menjelaskan mengapa proyeksi (nilai eigen 1 dan 0) berubah menjadi refleksi (nilai eigen 1 dan -1).

🎯 Rumus Inti

Nilai eigen dan vektor eigen ditemukan melalui $\det(A - \lambda I) = 0$. Jika $A$ adalah matriks 2x2 dan singular, baris-barisnya merupakan kelipatan dari $(a, b)$, dan vektor eigennya adalah $(b, -a)$.

$Ax = \lambda x \quad | \quad R = 2P - I$

PERTANYAAN 1

Kelas matriks manakah yang sesuai untuk A dan B jika A memproyeksikan vektor ke suatu garis dan B mencerminkan vektor terhadap garis yang sama?

A: Proyeksi, B: Markov

A: Proyeksi, B: Ortogonal

A: Permutasi, B: Dapat Diagonalisasi

A: Dapat Dibalik, B: Proyeksi

PERTANYAAN 2

Selesaikan sistem $du/dt = Au$ dengan $A = [0, 1; 1, 0]$ dan $u(0) = [4, 2]$.

$u(t) = 3e^t[1, 1] + e^{-t}[1, -1]$

$u(t) = 4e^t[1, 0] + 2e^{-t}[0, 1]$

$u(t) = e^{2t}[3, 1] + e^{-2t}[1, 1]$

$u(t) = 2e^t[1, 1] + 2e^{-t}[1, -1]$

PERTANYAAN 3

Diberikan perubahan matriks $\Delta A$, apa rumus untuk perubahan nilai eigen $\Delta \lambda_1, \dots, \Delta \lambda_n$?

$diag(S \Delta A S^{-1})$

$diag(S^{-1} \Delta A S)$

$diag(\Delta A S)$

$S^{-1} diag(\Delta A) S$

PERTANYAAN 4

Jika $J = [\lambda, 1; 0, \lambda]$, bagaimana bentuk $J^k$ untuk bilangan bulat umum $k$?

$[\lambda^k, k; 0, \lambda^k]$

$[\lambda^k, k\lambda^{k-1}; 0, \lambda^k]$

$[\lambda^k, 1; 0, \lambda^k]$

$[k\lambda, 1; 0, k\lambda]$

PERTANYAAN 5

Carilah nilai eigen dari $A = [1, 4; 2, 3]$ dan $A + I = [2, 4; 2, 4]$. Pernyataan mana yang benar?

$A+I$ memiliki vektor eigen yang berbeda dari $A$.

Nilai eigen dari $A+I$ bergeser sebesar 1 relatif terhadap $A$.

Determinan dari $A+I$ sama dengan $A$.

$A+I$ tidak singular karena $A$ singular.